例 1 · 有无括号
计算：$(-3)^2$ 和 $-3^2$
解答 · 通法
$(-3)^2=9$。$-3^2=-9$。
易错
两题都写成 9 或都写成 $-9$。
难点
这是有理数乘方最容易错的一点。先看负号在不在括号里。
乘方
几个相同的数相乘，写成乘方。负底数有没有括号，结果可能差一个符号。
它是什么
$a^n$ 表示 $n$ 个 $a$ 相乘。$a$ 叫底数，$n$ 叫指数。$a^1=a$，$a^2$ 读作 $a$ 的平方。
重点
负底数：
$$ (-2)^2=(-2)\times(-2)=4 $$ $$ -2^2=-(2^2)=-4 $$有括号，负号是底数的一部分；没括号，先算 $2^2$，再取相反数。
负数的奇次幂是负，偶次幂是正。
公式从哪来
乘方只是「相同因数相乘」的缩写。$(-2)^3$ 是三个 $-2$ 相乘，三个负号，结果为负。$-2^3$ 是「先算 $2^3$ 再变号」。
考点
- 正底数乘方
- $(-a)^n$ 与 $-a^n$ 的区别（必考）
- 奇偶次幂的符号
例 2 · 三次方
计算：$(-2)^3$ 和 $-2^3$
解答 · 通法
$(-2)^3=-8$。$-2^3=-8$。这一次碰巧相同，因为指数是奇数。
例 3 · 分数底数
计算：$(-\dfrac{1}{2})^2$ 和 $(-\dfrac{1}{2})^3$
解答 · 通法
平方得 $\dfrac{1}{4}$（正）。立方得 $-\dfrac{1}{8}$（负）。
家长讲
「先找括号。有括号，负号跟着底数一起乘；没括号，先算乘方再变号。」
知识回顾
- $(-a)^n$：负号在括号里，是底数的一部分
- $-a^n$：先算 $a^n$，再取相反数
- 负底数：奇次幂为负，偶次幂为正
练习
先在格子里自己写步骤。做完再点「点击查看答案」。
口算 · 3 分钟
- $2^3$
答案： $8$
- $(-1)^2$
答案： $1$
- $(-1)^3$
答案： $-1$
- $-1^2$
答案： $-1$
- $10^2$
答案： $100$
- $(-5)^1$
答案： $-5$
基础
- $(-4)^2$
答案： $16$
解答 · 通法两个负号得正。
- $-4^2$
答案： $-16$
解答 · 通法先 $16$ 再变号。
- $(-3)^3$
答案： $-27$
解答 · 通法三个负号得负。
- $(\dfrac{2}{3})^2$
答案： $\dfrac{4}{9}$
解答 · 通法分子分母分别平方。
提高
- $(-\dfrac{1}{3})^2$
答案： $\dfrac{1}{9}$
解答 · 通法偶次幂为正。
- $-(-2)^2$
答案： $-4$
解答 · 通法先 $(-2)^2=4$，再取相反数。
- $(-2)^4$
答案： $16$
解答 · 通法四个负号得正。
综合
- 计算 $(-2)^2-2^2$
答案： $0$
解答 · 通法$4-4=0$
- 下列哪个是正数：$-3^2$，$(-3)^2$，$-(-3)^2$
答案： $(-3)^2$
解答 · 通法另外两个都是 $-9$。
变式
例 1 改成 $(-5)^2$ 和 $-5^2$。
答案： $25$ 和 $-25$
错了回哪里
- 有无括号搞混 → 回例 1。
- 奇偶次幂符号错 → 回例 2。