例 1 · 工程
甲独做 10 天完成，乙独做 15 天完成，合作几天完成？
解答 · 通法
甲效率 $\dfrac{1}{10}$，乙 $\dfrac{1}{15}$。设合作 $x$ 天。
$$ \dfrac{x}{10}+\dfrac{x}{15}=1 $$$x=6$。检验：$6\times\dfrac{1}{10}+6\times\dfrac{1}{15}=0.6+0.4=1$。
工程·利润·方案
工程把工作总量看成 1。利润围绕进价、售价、折扣。方案比较列出各方案的费用再比大小。
它是什么
工程：效率是「每天完成几分之几」，时间 = 工作量 ÷ 效率。利润：利润 = 售价 − 进价，利润率 = 利润 ÷ 进价。
重点
工程：$1\div\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)$ 是甲乙合作完成的时间。
利润：$售价=进价\times(1+利润率)$；打折：$售价=原价\times 折扣$。
方案：把每种方案写成关于 $x$ 的式子，再按题目比较。
公式从哪来
工程不怕具体件数，把一件工程当 1，分数就是效率。利润题先分清「按谁的百分之几」。
考点
- 合作工程
- 打折与利润
- 两种方案比费用
例 2 · 利润折扣
进价 $80$ 元，标价提高 $50\%$ 再打八折卖出，利润多少？
解答 · 通法
标价 $80\times 1.5=120$，售价 $120\times 0.8=96$，利润 $96-80=16$ 元。
易错
直接 $80\times 50\%\times 0.8$，把提高和打折乘错对象。
例 3 · 方案
复印：甲馆每张 $0.4$ 元；乙馆 10 元会员费后每张 $0.2$ 元。复印 $x$ 张，何时乙更便宜？
解答 · 通法
甲：$0.4x$。乙：$10+0.2x$。乙更便宜：$10+0.2x<0.4x$，$10<0.2x$，$x>50$。超过 50 张选乙。
家长讲
「工程先写每人每天几分之一。利润先画出进价→标价→售价三步，不要跳。」
练习
先在格子里自己写步骤。做完再点「点击查看答案」。
口算 · 3 分钟
- 独做 5 天完成，每天效率
答案： $\dfrac{1}{5}$
- 工作量 1，效率 $\dfrac{1}{4}$，时间
答案： $4$ 天
- 进价 10 售价 12，利润
答案： $2$
- 打八折是乘
答案： $0.8$
- 提高 $20\%$ 是乘
答案： $1.2$
- 合作效率是
答案： 效率相加
基础
- 独做 8 天完成，3 天做了多少
答案： $\dfrac{3}{8}$
解答 · 通法效率 $\dfrac{1}{8}$。
- 进价 $50$ 元，利润 $10$ 元，售价
答案： $60$ 元
解答 · 通法售价=进价+利润。
- 原价 $200$ 打九折
答案： $180$ 元
解答 · 通法$\times 0.9$
- 甲 6 天乙 6 天合作，效率之和
答案： $\dfrac{1}{3}$
解答 · 通法$\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}$
提高
- 甲 12 天乙 6 天，合作几天
答案： $4$ 天
解答 · 通法$\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{4}$
- 进价 $40$ 元，利润率 $25\%$，售价
答案： $50$ 元
解答 · 通法$40\times 1.25$
- 标价 $100$ 先打八折再减 10 元
答案： $70$ 元
解答 · 通法$80-10$
综合
- 一项工程甲独做 10 天，乙独做 15 天。甲先做 2 天，余下合作，还要几天？
答案： $4.8$ 天
解答 · 通法剩 $\dfrac{4}{5}$，每天 $\dfrac{1}{6}$，$x=\dfrac{4}{5}\div\dfrac{1}{6}=4.8$
- 进价 $60$ 元，标价加价 $40\%$ 再打八五折，盈亏？
答案： 赚 $11.4$ 元
解答 · 通法标价 $84$，售价 $71.4$，利润 $11.4$
变式
例 1 改成甲 8 天乙 24 天。
答案： $6$ 天
错了回哪里
- 工程分数 → 回例 1。
- 折扣对象错 → 回例 2。
- 方案不会列式 → 回例 3。