垂线

两条直线相交成直角，就互相垂直。点到直线的距离，是垂线段的长度。

自学大约 25 分钟 家长讲大约 10 分钟

它是什么

过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂足是垂线与直线的交点。

重点

$a\perp b$。垂线段最短：从直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短，这长度叫点到直线的距离。

注意：点到直线的距离是线段长，是一个数；垂线是直线。

公式从哪来

平行线之间的距离、三角形的高，都用垂线。

l P H 垂足 A PH 最短，是距离

从点 P 向直线 l 作垂线，垂足 H。PH 是距离，斜着的 PA 不是。

考点

例 1 · 距离

点 $P$ 到直线 $l$ 作垂线，垂足 $H$，$PH=5\mathrm{cm}$。$P$ 到 $l$ 上另一点 $A$ 的连线 $6\mathrm{cm}$。哪个是距离？

l P H 垂足 A PH 最短，是距离
解答 · 通法
  1. 点到直线的距离规定为垂线段的长度。
  2. $PH$ 垂直于 $l$，所以距离是 $5\mathrm{cm}$。
  3. $PA$ 是斜线段，更长，不是距离。

例 2 · 唯一

过直线外一点能作几条垂线？过直线上一点呢？

解答 · 通法
  1. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
  2. 过直线上一点，也有且只有一条直线与它垂直。
  3. 「有且只有」两层：存在，并且不能再多。

例 3 · 计算

Rt$\triangle$ 中，$\angle C=90^\circ$，$AC=3$，$BC=4$，斜边 $5$。点 $C$ 到 $AB$ 的距离是斜边上的高，面积 $6$，高为？

解答 · 通法
  1. 面积可以用两条直角边：$\dfrac{1}{2}\times 3\times 4=6$。
  2. 也可以用斜边乘斜边上的高：$\dfrac{1}{2}\times 5\times h=6$。
  3. 所以 $h=2.4$。这就是 $C$ 到 $AB$ 的距离。
家长讲

「距离一定是垂直量过去的。斜着量的不是距离。」

练习

先在格子里自己写步骤。做完再点「点击查看答案」。

口算 · 3 分钟

  1. 垂直记号
  2. 垂足是
  3. 点到直线距离
  4. 垂线段比斜线段
  5. 过一点作已知直线的垂线
  6. 两直线垂直夹角

基础

  1. $a\perp b$，夹角
  2. 距离是线还是长度
  3. 斜线段 $8$，垂线段 $5$，距离
  4. 过点 $P$ 作 $l$ 的垂线有几条

提高

  1. 直线外一点到直线上两点距离相等，垂足在哪里
  2. 点到直线距离为 0，说明
  3. 矩形的宽就是邻边到对边的

综合

  1. 正方形边长 6，对角顶点到对边的距离
  2. 为什么测量高度要用铅垂线

变式

例 1 中 $PA$ 能当距离吗？

错了回哪里
  • 距离概念 → 回例 1。
  • 唯一性 → 回例 2。