对顶角

对顶角相等是定理。证明思路：都与同一个邻补角互补，所以相等。

自学大约 25 分钟 家长讲大约 10 分钟

它是什么

两条直线相交，相对的两个角是对顶角。不是任意相对的角都叫对顶角，必须是相交直线形成的。

重点

定理：对顶角相等。

证明：设 $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 对顶，$\angle 3$ 是 $\angle 1$ 的邻补，则 $\angle 1+\angle 3=180^\circ$，$\angle 2+\angle 3=180^\circ$，所以 $\angle 1=\angle 2$。

公式从哪来

以后「搬角」经常通过对顶角：这个角等于它的对顶角，再等于另一侧的同位角。

∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠1 与 ∠3 对顶；∠2 与 ∠4 对顶；相邻的是邻补角

相对的是对顶角，相邻的是邻补角。不要把邻补当成对顶。

考点

例 1 · 识别

三条线相交像「*」，有几对对顶角？

∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠1 与 ∠3 对顶；∠2 与 ∠4 对顶；相邻的是邻补角
解答 · 通法
  1. 每两条直线相交，产生 2 对对顶角。
  2. 三条直线两两相交，有 3 组相交，共 $3\times 2=6$ 对对顶角。
  3. 认对顶：看是不是「剪刀张开」的那一对角，不相邻。

例 2 · 计算

$\angle 1$ 与 $\angle 2$ 对顶，$\angle 1=3x+10$，$\angle 2=70$，求 $x$。

解答 · 通法
  1. 对顶角相等，所以 $3x+10=70$。
  2. $3x=60$，$x=20$。
  3. 检验：把 $x=20$ 代回，$3\times 20+10=70$。

例 3 · 推理

已知对顶，$\angle 1=\angle 3$，且 $\angle 3$ 与 $\angle 2$ 邻补。求 $\angle 1+\angle 2$。

解答 · 通法
  1. 因为 $\angle 1$ 与 $\angle 3$ 对顶，所以 $\angle 1=\angle 3$。
  2. 因为 $\angle 3$ 与 $\angle 2$ 邻补，所以 $\angle 3+\angle 2=180^\circ$。
  3. 因此 $\angle 1+\angle 2=180^\circ$。
家长讲

「剪刀张开的那一对角就是对顶角。不要把邻补当成对顶。」

练习

先在格子里自己写步骤。做完再点「点击查看答案」。

口算 · 3 分钟

  1. 对顶角相等吗
  2. 对顶角一定相邻吗
  3. 邻补和是
  4. 证明对顶用什么
  5. 垂直时对顶角
  6. 一对对顶有几个角

基础

  1. 对顶角 $65^\circ$，另一个
  2. 对顶 $65^\circ$，邻补
  3. $\angle 1=2x$，$\angle 2=50$ 对顶，$x$
  4. 对顶角会互补吗

提高

  1. $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 对顶，$\angle 1$ 的余角 $20^\circ$，求 $\angle 2$
  2. 写出对顶角相等的因为所以（已知相交）
  3. $\angle 1=5x-5$，$\angle 2=3x+15$ 对顶，$\angle 1$

综合

  1. 相交四个角中，若有一个 $90^\circ$，其余？
  2. $\angle 1$ 对顶 $\angle 2$，$\angle 2$ 邻补 $\angle 3$，$\angle 1=40^\circ$，求 $\angle 3$

变式

例 2 改成 $\angle 2=3x+10$，$\angle 1=70$。

错了回哪里
  • 认错对顶 → 回例 1。
  • 代数 → 回例 2。