平行线的判定

由角的关系推出两线平行。记住三句话：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。

自学大约 25 分钟 家长讲大约 10 分钟

它是什么

判定是「由角 → 平行」。书写：因为 $\angle 1=\angle 2$（同位角），所以 $a\parallel b$。

重点

判定 1：同位角相等 $\Rightarrow$ 两直线平行。

判定 2：内错角相等 $\Rightarrow$ 两直线平行。

判定 3：同旁内角互补 $\Rightarrow$ 两直线平行。

还有：垂直于同一直线的两条直线平行。

公式从哪来

作平行线、证明平行，都用判定。和性质方向相反，不要用反。

考点

例 1 · 同位角

截线使 $\angle 1=\angle 2$ 且为同位角。结论？

a b 截线 c a ∥ b 内错角 同旁内角
解答 · 通法

因为同位角相等，所以两直线平行。

例 2 · 内错角

$\angle 3=70^\circ$，$\angle 4=70^\circ$，且为内错角。结论？

解答 · 通法

内错角相等 $\Rightarrow$ 平行。

例 3 · 同旁内角

$\angle 5=110^\circ$，$\angle 6=70^\circ$，同旁内角。平行吗？

解答 · 通法

$110+70=180$，互补，所以平行。

技巧

先加一加，是 $180$ 才能用判定 3。

家长讲

「判定是『角够了，线就平行』。让孩子先指是哪一种角，再下结论。」

知识回顾

练习

先在格子里自己写步骤。做完再点「点击查看答案」。

口算 · 3 分钟

  1. 同位角相等推出
  2. 内错角相等推出
  3. 同旁内角怎样推出平行
  4. 判定是由角推线还是由线推角
  5. 都垂直于同一直线
  6. 因为所以先写

基础

  1. 同位角都是 $80^\circ$，两线
  2. 内错角 $50^\circ$ 与 $50^\circ$
  3. 同旁内角 $100^\circ$ 与 $80^\circ$
  4. 同旁内角 $100^\circ$ 与 $90^\circ$

提高

  1. 写出判定 1 的因为所以
  2. $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 对顶，$\angle 2$ 与 $\angle 3$ 同位且 $\angle 1=\angle 3$，可证平行吗
  3. 两线都垂直于第三条，为什么平行

综合

  1. $\angle 1=2x$，$\angle 2=x+40$ 为内错角，且两线平行，先求角（本课若已平行应用性质；若要判定需已知相等）。改为：要使平行，$x$ 应是
  2. 同旁内角 $3x$ 与 $x+20$，要平行，$x$

变式

例 3 改成 $110^\circ$ 与 $60^\circ$。

错了回哪里
  • 认不出角的类型 → 平行线例 3。
  • 写反成性质 → 记住判定是由角推平行。