立方根

一个数的立方根是立方等于它的数。立方根只有一个，负数也有立方根。

自学大约 25 分钟 家长讲大约 10 分钟

它是什么

$\sqrt[3]{a}$ 表示 $a$ 的立方根。$\sqrt[3]{-8}=-2$，因为 $(-2)^3=-8$。

重点

$(\sqrt[3]{a})^3=a$。立方根唯一。

$$ \sqrt[3]{8}=2,\quad \sqrt[3]{-8}=-2,\quad \sqrt[3]{0}=0 $$

公式从哪来

立方不丢负号：负负负得负。所以负数可以开立方，不能开平方。

考点

例 1 · 直接求

求 $\sqrt[3]{27}$，$\sqrt[3]{-27}$，$\sqrt[3]{1}$。

解答 · 通法
  1. $3^3=27$，所以 $\sqrt[3]{27}=3$。
  2. $(-3)^3=-27$，所以 $\sqrt[3]{-27}=-3$。负数可以开立方。
  3. $1^3=1$，所以 $\sqrt[3]{1}=1$。立方根只有一个。

例 2 · 对比

$\sqrt{-8}$ 和 $\sqrt[3]{-8}$ 哪个有意义？

解答 · 通法

$\sqrt{-8}$ 实数范围内无意义。$\sqrt[3]{-8}=-2$。

例 3 · 方程

解 $x^3=8$。

解答 · 通法

$x=2$。只有一个实数解（与 $x^2=8$ 不同）。

家长讲

「平方根看正负两个；立方根看一个，负数也能开。」

练习

先在格子里自己写步骤。做完再点「点击查看答案」。

口算 · 3 分钟

  1. $\sqrt[3]{8}$
  2. $\sqrt[3]{-1}$
  3. $\sqrt[3]{0}$
  4. 立方根几个（实数）
  5. $(-3)^3$
  6. $\sqrt[3]{64}$

基础

  1. $\sqrt[3]{125}$
  2. $\sqrt[3]{-64}$
  3. $(\sqrt[3]{2})^3$
  4. $x^3=-1$ 的解

提高

  1. $\sqrt[3]{-8}+\sqrt{16}$
  2. 比较 $\sqrt[3]{-8}$ 和 $\sqrt[3]{-1}$
  3. $\sqrt{-9}$ 有意义吗

综合

  1. 正方体体积 $27$，棱长
  2. 填空：$\sqrt[3]{\quad}=-5$

变式

例 1 改成 $\sqrt[3]{1000}$。

错了回哪里
  • 和平方根搞混 → 回例 2。
  • 负数立方根 → 回例 1。