例 1 · 分类
$0.3$，$0.333\ldots$，$\sqrt{2}$，$\pi$，$\sqrt{9}$，$-5$ 哪些无理？
解答 · 通法
$\sqrt{2}$、$\pi$ 无理。$0.3$ 有限，$0.333\ldots$ 循环，$\sqrt{9}=3$，$-5$ 都是有理数。
实数
有理数和无理数合称实数。无限不循环小数是无理数，如 $\sqrt{2}$、$\pi$。
它是什么
有理数：整数和分数，写成有限小数或无限循环小数。无理数：无限不循环小数。实数与数轴上的点一一对应。
重点
实数 $=$ 有理数 $+$ 无理数。
$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\pi$ 是无理数。$\sqrt{4}=2$ 是有理数。
实数比较大小、加减乘除（除数不为 0）仍封闭；运算律仍成立。
公式从哪来
数轴被有理数留了很多「缝」，无理数把缝填满。边长 1 的正方形对角线就是 $\sqrt{2}$。
考点
- 判断有理无理
- 实数与数轴
- $\sqrt{2}$ 的估算
例 2 · 估算
$\sqrt{2}$ 在哪两个整数之间？
解答 · 通法
$1^2=1$，$2^2=4$，所以 $1<\sqrt{2}<2$。
例 3 · 数轴
实数与数轴上的点有什么关系？
解答 · 通法
一一对应：每个实数对应一个点，每个点对应一个实数。
家长讲
「循环就有理，不循环且无限就无理。能开尽的根号是有理数。」
练习
先在格子里自己写步骤。做完再点「点击查看答案」。
口算 · 3 分钟
- $\sqrt{2}$ 有理吗
答案： 无理
- $\sqrt{4}$ 有理吗
答案： 有理
- $\pi$ 有理吗
答案： 无理
- $0.6$ 有理吗
答案： 有理
- 实数包括
答案： 有理数和无理数
- $1<\sqrt{3}<$?
答案： $2$
基础
- $\sqrt{5}$ 是无理数吗
答案： 是
解答 · 通法5 不是完全平方数。
- $0.1212\ldots$（12 循环）
答案： 有理数
解答 · 通法无限循环。
- $\sqrt{2}$ 在哪两整数之间
答案： $1$ 和 $2$
解答 · 通法$1<2<4$。
- 数轴上每个点对应
答案： 一个实数
解答 · 通法一一对应。
提高
- 比较 $\sqrt{5}$ 和 $2.2$
答案： $\sqrt{5}>2.2$ 因为 $5>4.84$
解答 · 通法平方比。
- $-\sqrt{2}$ 是无理数吗
答案： 是
解答 · 通法无理数的相反数仍无理（非零）。
- $\sqrt{8}$ 能写成 $2\sqrt{2}$，是无理数吗
答案： 是
解答 · 通法仍含 $\sqrt{2}$。
综合
- 边长 1 的正方形对角线长
答案： $\sqrt{2}$
解答 · 通法勾股 $1^2+1^2=2$。
- 下列有几个无理数：$\sqrt{16}$，$\sqrt{18}$，$\dfrac{22}{7}$，$\pi$
答案： 两个（$\sqrt{18}$、$\pi$）
解答 · 通法$\dfrac{22}{7}$ 是有理近似，$\sqrt{16}=4$。
变式
例 2 改成 $\sqrt{10}$。
答案： 在 $3$ 与 $4$ 之间
错了回哪里
- 循环当无理 → 回例 1。
- 估算 → 回例 2。