例 1 · 两个词
$16$ 的平方根和 $\sqrt{16}$ 各是什么？
解答 · 通法
- $16$ 的平方根问的是「谁的平方等于 16」，有两个：$4$ 和 $-4$。
- $\sqrt{16}$ 是算术平方根，规定只取非负的那个，所以是 $4$。
- 口诀：根号里走出来的一定 $\ge 0$；问「平方根」才写 $\pm$。
易错
把 $\sqrt{16}$ 写成 $\pm 4$。
平方根
一个正数有两个平方根，一正一负。正的那个叫算术平方根，记作 $\sqrt{a}$。
它是什么
若 $x^2=a$（$a>0$），则 $x=\pm\sqrt{a}$。$\sqrt{a}$ 一定 $\ge 0$。$0$ 的平方根是 $0$。负数没有平方根（在实数范围内）。
重点
$(\sqrt{a})^2=a$（$a\ge 0$）。$\sqrt{a^2}=|a|$。
$$ \sqrt{9}=3,\quad 9\text{ 的平方根是 }\pm 3 $$被开方数不能是负数。
公式从哪来
面积是 9 的正方形边长是 3，不是 $-3$。所以算术平方根只取非负。方程 $x^2=9$ 才有两个解。
考点
- $\sqrt{a}$ 与「平方根」的区别
- $\sqrt{a^2}=|a|$
- 被开方数非负
例 2 · 绝对值
化简 $\sqrt{(-5)^2}$ 和 $(\sqrt{5})^2$。
解答 · 通法
$\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$。$(\sqrt{5})^2=5$。
例 3 · 方程
解 $x^2=25$。
解答 · 通法
$x=\pm 5$。检验：$(\pm 5)^2=25$。
家长讲
「根号只吐出非负数。问平方根才有正负两个。」
知识回顾
- $\sqrt{a}$ 是算术平方根，一定 $\ge 0$
- $a$ 的平方根有两个：$\pm\sqrt{a}$（$a>0$）
- $\sqrt{a^2}=|a|$
- 负数没有平方根（实数范围内）
练习
先在格子里自己写步骤。做完再点「点击查看答案」。
口算 · 3 分钟
- $\sqrt{4}$
答案： $2$
- $4$ 的平方根
答案： $\pm 2$
- $\sqrt{0}$
答案： $0$
- $\sqrt{-4}$ 有没有（实数）
答案： 没有
- $(\sqrt{7})^2$
答案： $7$
- $\sqrt{9}+\sqrt{16}$
答案： $7$
基础
- $\sqrt{36}$
答案： $6$
解答 · 通法算术平方根。
- $36$ 的平方根
答案： $\pm 6$
解答 · 通法两个。
- $\sqrt{100}-\sqrt{64}$
答案： $2$
解答 · 通法$10-8$
- $x^2=1$ 的解
答案： $\pm 1$
解答 · 通法平方根。
提高
- $\sqrt{(-3)^2}-\sqrt{3^2}$
答案： $0$
解答 · 通法$3-3=0$
- $\sqrt{a}$ 有意义，则 $a$
答案： $a\ge 0$
解答 · 通法被开方数非负。
- 比较 $\sqrt{8}$ 和 $3$
答案： $\sqrt{8}<3$ 因为 $8<9$
解答 · 通法平方再比。
综合
- 正方形面积 $49$，边长
答案： $7$
解答 · 通法边长是算术平方根。
- 化简 $\sqrt{16}+\sqrt{9}-\sqrt{25}$
答案： $2$
解答 · 通法$4+3-5=2$
变式
例 1 改成 $81$。
答案： 平方根 $\pm 9$，$\sqrt{81}=9$
错了回哪里
- 写成 $\pm$ 在根号里 → 回例 1。
- $\sqrt{a^2}$ → 回例 2。