方程组

两个未知数，两个方程，合在一起叫二元一次方程组。一组数同时满足两个方程，才是解。

自学大约 25 分钟 家长讲大约 10 分钟

它是什么

一般形式：$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$。解写成 $\begin{cases}x=\\ y=\end{cases}$。

重点

检验必须两个方程都代进去。

一个方程两个未知数，有无数解；两个独立方程，通常一组解。

公式从哪来

应用题常常有两个未知量，一个方程不够，要联立。

考点

例 1 · 检验

$\begin{cases}x+y=5\\ x-y=1\end{cases}$，$x=3,y=2$ 是解吗？

解答 · 通法

$3+2=5$，$3-2=1$，两个都成立，是解。

例 2 · 不是解

上题中 $x=4,y=1$ 是解吗？

解答 · 通法

$4+1=5$ 对，但 $4-1=3\ne 1$，不是解。

例 3 · 含义

为什么要两个方程？

解答 · 通法

一个方程 $x+y=5$ 可以是 $(1,4)$、$(2,3)$… 无数对。再加 $x-y=1$，只剩一对。

家长讲

「检验要验两次。只满足一个方程，不是方程组的解。」

练习

先在格子里自己写步骤。做完再点「点击查看答案」。

口算 · 3 分钟

  1. 几个未知数（本章）
  2. 几个方程
  3. 解要满足
  4. 写成什么形式
  5. $x+y=5$ 单独解的个数
  6. 检验几次

基础

  1. $\begin{cases}x+y=3\\ x=1\end{cases}$ 的解
  2. $(2,2)$ 是 $x+y=4$ 与 $x-y=0$ 的解吗
  3. $(3,1)$ 是上题的解吗
  4. 二元一次方程组至少几个方程

提高

  1. 若 $x=0,y=0$ 是方程组的解，常数项应怎样
  2. 只有一个方程 $2x+y=1$，能确定唯一解吗
  3. 解要写完整 $x$ 和 $y$

综合

  1. 鸡兔同笼为什么要用两个方程（或一个方程两个量）
  2. $x+y=10$，$xy=16$，是二元一次方程组吗

变式

例 1 改成 $x=4,y=1$。

错了回哪里
  • 只验一个方程 → 回例 1、例 2。