例 1 · 相反系数
$\begin{cases}x+y=7\\ x-y=3\end{cases}$
解答 · 通法
相加：$2x=10$，$x=5$，代入 $y=2$。技巧：相减得 $2y=4$ 也能先求 $y$。
加减法
两个方程相加或相减，消掉一个未知数。系数相反就加，系数相同就减。
它是什么
若 $y$ 的系数已经相反，直接加；若相同，相减；若不成相反，先把一个方程两边乘一个数。
重点
系数相反：相加消去。系数相同：相减消去。
$$ \begin{cases}x+y=5\\ x-y=1\end{cases} \xrightarrow{加} 2x=6 $$公式从哪来
和代入法一样都是消元。系数整齐时加减法更快。
考点
- 直接加减
- 先乘后加减
- 与代入法选择
例 2 · 先乘
$\begin{cases}2x+y=7\\ x+2y=8\end{cases}$
解答 · 通法
第二式乘 2：$2x+4y=16$，再减第一式：$3y=9$，$y=3$，$x=2$。
例 3 · 选法
何时用代入，何时用加减？
解答 · 通法
有系数为 1，代入方便。两方程系数成倍数或相反，加减方便。
家长讲
「加减法像中和：一个加一个减，把其中一个字母对掉。」
知识回顾
- 系数相反：相加消去；系数相同：相减消去
- 不成相反时，先把一个方程两边乘一个数
- 系数为 1 用代入，系数整齐用加减
练习
先在格子里自己写步骤。做完再点「点击查看答案」。
口算 · 3 分钟
- 系数相反怎么办
答案： 相加
- 系数相同怎么办
答案： 相减
- 不成倍数先
答案： 两边乘一个数
- 消元后变成
答案： 一元方程
- $x+y$ 加 $x-y$
答案： $2x$
- 还要检验吗
答案： 要
基础
- $\begin{cases}x+y=6\\ x-y=2\end{cases}$
答案： $x=4,y=2$
解答 · 通法相加 $2x=8$。
- $\begin{cases}x+y=10\\ x-y=0\end{cases}$
答案： $x=5,y=5$
解答 · 通法相加 $2x=10$。
- $\begin{cases}2x+y=5\\ 2x-y=1\end{cases}$
答案： $x=1.5,y=2$
解答 · 通法相加 $4x=6$。
- $\begin{cases}3x+y=8\\ x+y=4\end{cases}$
答案： $x=2,y=2$
解答 · 通法相减 $2x=4$。
提高
- $\begin{cases}3x+2y=7\\ x-2y=1\end{cases}$
答案： $x=2,y=\dfrac{1}{2}$
解答 · 通法相加 $4x=8$。
- $\begin{cases}2x+3y=8\\ x-y=1\end{cases}$
答案： $x=\dfrac{11}{5},y=\dfrac{6}{5}$
解答 · 通法$x=y+1$ 代入 $2(y+1)+3y=8$，$5y=6$。
- $\begin{cases}5x-2y=4\\ 3x+2y=12\end{cases}$
答案： $x=2,y=3$
解答 · 通法相加 $8x=16$。
综合
- 鸡兔共 10 头，共 28 只脚。鸡兔各几只？
答案： 鸡 6 兔 4
解答 · 通法$x+y=10$，$2x+4y=28$ 化简 $x+2y=14$，减得 $y=4$
- $\begin{cases}x+2y=6\\ 3x+2y=12\end{cases}$
答案： $x=3,y=1.5$
解答 · 通法相减 $2x=6$
变式
例 1 改成 $x+y=7$，$x-y=-3$。
答案： $x=2,y=5$
错了回哪里
- 不会消元 → 回例 1。
- 系数不同 → 回例 2。