例 1 · 有解
$\begin{cases}x>1\\ x<4\end{cases}$
解答 · 通法
$1<x<4$。数轴上 1 和 4 之间，两端空心。
不等式组
几个不等式合在一起，解集是公共部分。在数轴上找重叠的那段。
它是什么
$\begin{cases}x>a\\ x<b\end{cases}$（$a<b$）的解集是 $a<x<b$。若没有重叠，无解。
重点
先分别解每个不等式，再取交集。
数轴上两段重叠的部分才是解。箭头相反且没有重叠就是无解。
公式从哪来
实际问题常有两个限制：既要大于这个，又要小于那个。
考点
- 取公共部分
- 无解的情形
- 数轴先画再写
例 2 · 无解
$\begin{cases}x>5\\ x<2\end{cases}$
解答 · 通法
没有公共部分，无解。
例 3 · 含等号
$\begin{cases}x\ge -1\\ x<3\end{cases}$
解答 · 通法
$-1\le x<3$。左实心右空心。
家长讲
「先在数轴上画两刀，看中间有没有重叠。没有就写无解。」
知识回顾
- 先分别解每个不等式，再取公共部分
- 数轴上重叠的那段才是解集
- 没有重叠就写无解
练习
先在格子里自己写步骤。做完再点「点击查看答案」。
口算 · 3 分钟
- 解集是
答案： 公共部分
- $x>2$ 且 $x>5$
答案： $x>5$
- $x<2$ 且 $x<5$
答案： $x<2$
- $x>3$ 且 $x<1$
答案： 无解
- 两端都空心
答案： 两个都是严格不等
- 先解再
答案： 取交集
基础
- $\begin{cases}x>0\\ x<2\end{cases}$
答案： $0<x<2$
解答 · 通法重叠。
- $\begin{cases}x\ge 3\\ x>5\end{cases}$
答案： $x>5$
解答 · 通法更严的那个。
- $\begin{cases}x<1\\ x>4\end{cases}$
答案： 无解
解答 · 通法不重叠。
- $\begin{cases}x\le 2\\ x\ge 2\end{cases}$
答案： $x=2$
解答 · 通法只有一点。
提高
- $\begin{cases}2x>6\\ x-1<4\end{cases}$
答案： $3<x<5$
解答 · 通法先解成 $x>3$ 且 $x<5$。
- $\begin{cases}x+2\ge 0\\ -x>1\end{cases}$
答案： $-2\le x<-1$
解答 · 通法$x\ge -2$ 且 $x<-1$。
- $\begin{cases}3-x<1\\ 2x\ge 4\end{cases}$
答案： $x>2$
解答 · 通法$x>2$ 且 $x\ge 2$，取更严的 $x>2$。
综合
- 既大于 $-3$ 又不超过 $2$
答案： $-3<x\le 2$
解答 · 通法左空右实。
- $\begin{cases}x-1\le 3\\ 2-x<0\end{cases}$
答案： $2<x\le 4$
解答 · 通法$x\le 4$ 且 $x>2$。
变式
例 1 改成 $x\ge 1$ 且 $x<4$。
答案： $1\le x<4$
错了回哪里
- 不会取公共 → 回数轴。
- 无解认不出 → 回例 2。